[선형대수학] 복잡한 행렬식(determinant) 정복하기 - (1)

안녕하세요. 선형대수학의 행렬식(determinant) 계산에 대해 포스팅 하겠습니다.

 

이 글에서는 복잡한 행렬식 계산 방법에 대해서만 다루고 있습니다.

 

기본 개념은 전부 아시는 것으로 가정하고 

선형대수학 문제 풀이 팁에 초점을 둔 게시글이니 참고해주세요!

 

 

---

① 행연산과 열연산을 둘 다 사용하기!

 

대학교에서 선형대수학을 수강하시는 분들은 행렬식을 계산하실 때 어떻게 계산하시나요?

 

저는 3x3 이상의 행렬이 나오면 대부분 가우스 소거법을 통해

 

상삼각행렬(upper triangular matrix)으로 만든 후 주 대각선의 요소들을 곱하는 방식으로 해결했습니다.

 

하지만 아래와 같은 행렬은 가우스 소거법으로 정리를 하기가 굉장히 까다롭습니다.

 

가우스 소거법으로 정리하기 힘든 행렬

 

이런 행렬의 determinant는 어떻게 구해야 할까요?

 

바로,

원 행렬과 전치행렬의 행렬식의 값은 서로 같다. 즉

이다.

 

라는 성질을 이용합니다!

 

따라서, 열연산을 하든 행연산을 하든 determinant를 구할 때는 상관이 없어요.

 

위의 행렬을 잘 관찰해보면,

그림처럼 행에 있는 요소들을 더하면 모두 18이라는 동일한 결과입니다.

 

그래서!! 열연산을 해줍니다.

그래도 determinant에 영향을 미치지 않아요.

 

 

가우스 소거법을 열심히 연습하신 분들은 열연산이라는 과정이 생소하실 거에요.

 

어쨌든 열연산을 하면 첫 번째 열이 모두 18이라는 같은 값이 되게 됩니다.

 

이제 행연산을 해주시면 됩니다.

첫 번째 행에 -1을 곱한 뒤 다른 행들에 그냥 더해주면 상삼각행렬이 완성됩니다!

 

따라서 행렬식(determinant)의 값은 바로 18*10*10*10*10 = 180000

 

180000이 답이 됩니다.

 

 

즉!

1. 가우스 소거법으로 계산이 안되는 이상한 행렬을 만났다

2. 열연산과 행연산을 적절히 사용해서 계산을 해준다

3. 최종적으로 상삼각행렬이나 하삼각행렬 꼴을 만들어서 행렬식을 계산해준다

 

행렬식을 계산할 때는 열연산과 행연산을 번갈아가며 사용해도 문제가 없다는 것이 핵심입니다.

 

 

감사합니다!