[전자기학] 연속 방정식(Continuity Equation) 증명

안녕하세요

 

오늘은 연속 방정식(Continuity Equation)의 증명 과정을 알아보겠습니다.

 

정말 많은 물리 현상들이 이 연속 방정식에 관련된다는 것을 공부를 하다보면 알 수 있을거에요.

 

이번 포스팅에서는 전자기학에서 연속 방정식을 증명하는 과정을 한 번 알아보겠습니다.

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연속 방정식 증명

다음과 같이 부피가 V인 물체가 있습니다.

 

이 물체에는 전하(charge)가 골고루 분포되어있고, 아래의 단면적이 S' 인 호스를 통해 전하가 빠져나오고 있다고 가정합니다.

 

전하가 움직이면 전류가 흐르니까 지금 호스에서 전류가 흐르고 있겠죠?

 

 

 

전류의 기본 개념은 '단위 시간 당 그 면을 통과하는 전하량'입니다.

 

따라서 전류를 라고 할 수 있습니다.

 

 

 

또한 전류 밀도를 라고 가정했기 때문에 전류 밀도와 전류의 관계에 따라

 

호스에서의 전류를   로 나타낼 수 있겠죠?

 

 

 

그런데 여기서는 전하가 빠져나가고 있기 때문에 총 전하가 줄고 있어요.

그래서 미분꼴로 되어있는 첫 번째 전류식에 마이너스가 붙어줘야 합니다. 

 

 

따라서!! 위의 두 식을 조합하면

입니다! (마이너스 꼭 조심해주세요)

 

 

 

그리고 Q라고 하는 전하는 체적 전하 밀도를 이용해서

  로 나타낼 수 있으므로

 

 

 

이런 식을 얻을 수 있습니다.

좀 자세하게 써서 길어지긴 했는데 전류에 대해서 알고 계신다면 쉽게 따라오실 수 있으셨을 겁니다!

 

 

 

이제 발산 정리(divergence theorem)에 의해서

 

위처럼 면적분을 체적적분으로 바꿀 수 있습니다.

 

 

 

https://liamm.tistory.com/entry/%EC%A0%84%EC%9E%90%EA%B8%B0%ED%95%99-%EB%B0%9C%EC%82%B0-%EC%A0%95%EB%A6%ACDivergence-Theorem-%EC%A6%9D%EB%AA%85-%EB%B0%A9%EB%B2%95

 

 

 

지금까지 나온 식을 총정리하면,

 

이렇게 정리할 수 있겠네요.

 

 

 

저희는 여기에서 빨간 줄 친 이 식들을 볼겁니다.

 

 

 

과 는 둘 다 체적적분이니까 적분 요소 끼리 같다고 둬도 상관 없습니다.

 

 

 

즉,     <- 이게 성립한다는 거죠.

 

그리고 이 식이 바로 전류의 연속 방정식 입니다!

 

 

 

 

여기까지 연속 방정식의 증명이었습니다.

 

감사합니다!